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文章标签 ‘Dynamical Systems’

二维流形上的Nonwandering的双曲集合

2012年9月17日 4 条评论

本帖子是我在一次讨论班上的稿子,讲的是S.NewhouseJ.Palis的一篇论文,内容是关于二维的流形上Nonwandering双曲集合的性质,详见文献[1].基本概念和习惯用语参考[4],第18章。

第一部分.极限集的谱分解

我们说一个局部极大的双曲集合,指的是双曲集合\Lambda,满足\Lambda=\bigcap_{n\in \Bbb Z}f^n( V)对某个\Lambda的邻域V成立。

回忆Smale的谱分解定理如下:

一个黎曼流形M,以及一个开集U\subset M,映射f:U\to M是一个微分同胚,集合\Lambda是一个f的紧致的局部极大的双曲集合。则,存在不交的闭集\Lambda_1,\cdots,\Lambda_n,和一个集合\{1,\cdots,m\}的置换\sigma,使得NW(f|_\Lambda)=\bigcup_{i=1}^m\Lambda,并且f(\Lambda_i)=\Lambda_{\sigma(i)};当\sigma^k(i)=i时,f^k_{\Lambda_i}topologically mixing的。

评注:一个性质说,紧致的集合\Lambda是一个f的紧致的局部极大的双曲集合,当且仅当它具有局部乘积结构。局部乘积结构是指,对于足够小的正数\varepsilon,和x,y\in \Lambda,局部的稳定流形W_\varepsilon^u(x)和不稳定流形W_\varepsilon^s(y)的交点p总是属于\Lambda.这个等价性质的一个方向比较容易证明,而另一个方向的证明需要使用Anosov的Specification定理,详见Katok和Hasselblatt的书。 阅读全文…

读书计划:现代动力系统导论

2012年4月19日 6 条评论

我计划用不太短的时间(大约一年时间),阅读Anatole KatokBoris Hasselblatt的书:“Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems”.我之前断断续续的仅读过几十页的样子,习题也只是零散的做过若干。这次把书拿起来,决定不再线性的读,而是围绕一些话题,分成几个部分。

第一个阶段我打算阅读Hyperbolic Dynamics的初步,主要集中在书的第一部分和第二部分。阅读的同时我会注重积累例子,是从第一部分开始。第四章是遍历论的简介,我略去不看。暂时不读的还有第一部分的第五章。因此,全书的前三章就是整个学习的开始,我已经对这部分有些熟悉。

我看到有一些内容与Jacob PalisWelington De Melo的书“Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction”的相关内容有重复,我会将两书结合到一起学习.这部分目前是我阅读的重点之一,也是我这学期事实上在听的由Marcelo Viana教授所主讲的同名的博士生课程。相关的参考书还有Michael Brin和Garrett Stuck所著“Introduction to Dynamical Systems”,只是并没有包括所有证明。第六章将是我学习的一个重点,接下来是第七章。计划这些需要大约3个月左右。

完成上面的学习之后,我可能从书的第三部分,低维的动力系统入手,进行第二个阶段的阅读,不过具体的计划完全还不成熟,到时候可能随着我自己学习相关课程同时进行。

于此同时,全书的473个习题是“本书非常重要的一部分”。这些习题,我会在阅读的同时尽量全做,但是不见得有时间都写下来。

Katok和Hasselblatt的这本书是动力系统领域的经典名著,书中不论深度广度都达到相当的程度。想进入这个专业领域中来,细读这本书显然很值得。我相信应该有不少人在学这个书。如果有人有跟我相类似的时间安排,请与我联系。

动力系统基本概念:结构稳定性

2011年10月5日 没有评论

我目前在学习动力系统的基础知识。为了学习动力系统的基本知识,应当先有一门常微分方程课的基础,了解微分流形的基本概念,以及点集拓扑学基本概念。如果要从大学程度的常微分方程的课程开始学起的话,我推荐MIT的Arthur Mattuck教授主讲的公开课:”Ordinary Differential Equation“。微分方程的中文教材,我使用丁同仁和李承志的“常微分方程教程”。微分动力系统的教材,中文的我主要参考“微分动力系统原理”,作者是张筑生。英文的书,是我重点阅读的部分,包括下面几本书,V.I.Arnold的书”Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations”,Jacob Palis和Welington de Melo的书“Dynamical Systems”,Welington de Melo 和 Sebastian van Strien的书”One-Dimensional Dynamics”,以及Michael Shub的书”Global Stability of Dynamical Systems”.这些将是我短期内投入学习的最重要内容,有相同学习计划的朋友可以与我联系。

结构稳定性是我一开始就比较感兴趣的话题,我用这个帖子写关于这方面的内容。希望作为初学,不会犯严重的错误。 阅读全文…