回忆李代数是指一个数域或者上的向量空间，其上还添加了一个反对称的双线性形式（作为这个代数的乘法），称作李括号积，,满足下述的所谓Jacobi等式：即对任何的,下面式子成立：

给定一个实的李代数,我们也可以定义复的李代数，是通过把李括号积的定义范围扩充到整个复向量空间，如下：

这样得来的复的李代数就称作原来的实的李代数的复化。此时，我们称为的实形式(real form)。

反过来，我们先给定一个复的李代数,我们说的共轭，表示为,指的是作为相同的向量空间，虚数单位的乘法却变成了的乘法.

换句话说，对于一个复向量空间，我们当然可以把它看成是以这组基上的复线性空间，同时它也是以这组基上的维的实数线性空间。而相应的，我们如果把它看成是以为基的同样是维的实线性空间的话，得到的就是另一个复结构，就是这个复结构被称作原来的那个的共轭。

可以看出，同样的一个向量，在第一组基上的表示如果是的话，则放在第二组基上它的表示就变成了.这样，我们其实可以把共轭就看作一个变换，,满足.这时候的表达式，就跟初等数学中“求共轭”运算的意义相吻合了。还应当注意到.

有的时候，复的李代数是可以与李代数同构的。这样说的意思是存在一个可逆的李代数同态，满足.

为了澄清这些概念，我们举两个例子。

例子一：如果一个复李代数有实形式，则它同构于它的共轭。举例说明，反过来不成立。

证明：设李代数是的实形式。则我们可以把中的元素写为这样的形式.定义就是“求共轭”这个同态。于是我们只需要验证这个同态是保持括号积的，即，.这个很容易验证，因为

.

而另一方向却是推不出来的，因为我们有下面的例子。

例子二：是一个3维的（复）李代数，由基底生成，李括号积定义为.证明，与李代数同构，当且仅当或者.

证明：:

如果是实数，则我们定义就是恒等变换.

如果，则定义.

验证它保持括号积：

.

:这个方向的证明稍微麻烦，但是都是初等数学的运算。假设我们有一个李代数同构，他定义为下面比较一般的形式：

,

,

.

则，我们代入等式，并得到，

于是,并且.

情况1.如果和同时成立，则;

情况2.如果则我们有.

这样的话，我们讨论另外一个等式的系数：

不要忘了我们仍然有,并因此可以推出不能为零，否则将会不再是个单射。这种情况下，一定是个实数。

情况3.,可以推出.类似情况二的讨论，我们可以推出.

例子二说明存在李代数，它一方面与它的共轭同构，另一方面它不含有实形式。具体的说明留作读者。

题目一:设为一个的实值函数，期中.令.证明如果是向量场的奇点，则的特征值都是实数。证明如果是一个双曲形的奇点当且仅当双线性形式是非退化的。更进一步的，证明不包含周期轨道。

证明提纲：在欧式空间中，梯度场由于是由函数的的各方向导数所得来的，我们发现它的导数在局部坐标下看是一个对称阵，于是我们得出相应的特征值都应当是实数。而将坐标拉回也不影响这个结果。而沿着梯度场，函数的值是严格递增的，不可能出现周期点。(反证法)

题目二：令为一个微分同胚，令为的双曲不变集合(Hyperbolic set).设为两个周期点并定义

在某点横截的与相交

再定义.

证明上面定义的是一个等价关系.更进一步的，证明对任意的开集和与同一个等价类相交非空，则存在，使得.

证明提纲：验证等价类的定义，关键在于验证传递性。而这里我们需要证明的关键是，对于三个点，满足的不稳定流形和的稳定流形横截相交；的不稳定流形和的稳定流形横截相交，可以推出的不稳定流形与的稳定流形也是横截相交的。而这个证明需要引理。

对于第二个问，对于这两个任意给定的开集合和,我们在其中寻找到等价类的点，比如说，则我们可以分别作出的不稳定流形和的稳定流形.注意，他们是横截相交的。设交点为，则我们可以利用稳定流形和不稳定流形的性质，得出存在.

题目三：令.证明如果是一个微分同胚，并满足与可交换(就是说，),则是线性的。而另一方面，存在上的的微分同胚，与可交换，却不是线性的变换。

证明提纲：由题目条件，我们得出.于是，首先，我们可以得到.于是，由于,而,我们有,.现在任取,我们有.于是对所有成立。

第二个问，我们构造函数定义如下，.这是一个非线性的函数，满足与可交换。

题目四：令为一个类的微分同胚，其中是一个compact的流形。证明如果是结构稳定的，则的所有不动点都是双曲不动点。我们能对周期的周期点有同样的断言吗？

证明提纲：是结构稳定的，首要的事情就是它的不动点都是simple的。再加上流形是紧致的，于是我们可以证明不动点一定是有限个。假设我们有一个不动点，在该点不是双曲的。这样，只需在局部分析这个不动点。把它先push到坐标上去，再将函数在那里通过一个bump函数微微调整，最后在pull back这个函数，我们最终可以得到两个不同的函数，他们在点都是双曲的，但是他们稳定流形和不稳定流形的维数不同。这样他们是不可能共轭的。（P.S.本题具体写起来最麻烦。）

为了给出一个反例，我构造了圆周上的微分同胚，满足每个点都是周期为2的周期点。同时这个微分同胚共轭于圆周的旋转，从而是结构稳定的。但是我构造出来的例子中，该圆周有非双曲的周期点，即，导数正好为.

由于会议主要报告人都不是同一学科，我猜想报告应该门槛比较低。我适时会选择听其中的一些。

第一个阶段我打算阅读Hyperbolic Dynamics的初步，主要集中在书的第一部分和第二部分。阅读的同时我会注重积累例子，是从第一部分开始。第四章是遍历论的简介，我略去不看。暂时不读的还有第一部分的第五章。因此，全书的前三章就是整个学习的开始，我已经对这部分有些熟悉。

我看到有一些内容与Jacob Palis和Welington De Melo的书“Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction”的相关内容有重复，我会将两书结合到一起学习.这部分目前是我阅读的重点之一，也是我这学期事实上在听的由Marcelo Viana教授所主讲的同名的博士生课程。相关的参考书还有Michael Brin和Garrett Stuck所著“Introduction to Dynamical Systems”，只是并没有包括所有证明。第六章将是我学习的一个重点，接下来是第七章。计划这些需要大约3个月左右。

完成上面的学习之后，我可能从书的第三部分，低维的动力系统入手，进行第二个阶段的阅读，不过具体的计划完全还不成熟，到时候可能随着我自己学习相关课程同时进行。

于此同时，全书的473个习题是“本书非常重要的一部分”。这些习题，我会在阅读的同时尽量全做，但是不见得有时间都写下来。

Katok和Hasselblatt的这本书是动力系统领域的经典名著，书中不论深度广度都达到相当的程度。想进入这个专业领域中来，细读这本书显然很值得。我相信应该有不少人在学这个书。如果有人有跟我相类似的时间安排，请与我联系。

我原本的计划是，在6月之前基本完成一门大学水平的离散数学的课程。我们进行的进度，如果都能够按时完成的话，是差不多可以达到这个要求的。我上次提到想在4月展开比较新的内容的学习，指的是关于整数的分拆理论，这个理论由于跟数论也有比较密切的联系，一直都是很热烈的研究分支。所以新版的Stanley的书特别的加入了这个部分的内容（第一版是没有的）。这部分理论有一些非常大气的工作是剑桥的Hardy和印度传奇数学家Ramanujan做的，华罗庚在剑桥期间受到过Hardy影响，他本人也在这里作了不少工作。

学习数学主要靠勤奋，因为一般而言，人与人的聪明程度大致相当，有大人物说到学数学需要的天赋和运气，那是在有相当的基础之后才能够谈及的，多数人可以说终究没有达到那个程度。而一般而言，勤奋的同时掌握着适当的方法，每个人都可以得到良好的基本训练。

我们花了两个月时间，大致看到了一些现代的组合数学入门知识，到此告一个段落。所讲授的东西都是非常浅显的。两个月之前我还有过一个想法，就是迅速进入严肃的科研，大家一起找一些研究题目做一做。当时也有同学写信给我表达过这个愿望。但是即便是最有可能做到这一点的组合数学，也仍然需要认真打基础，而且如果想做一点真正有意义的东西，没有一两年的时间是不要抱什么希望的。目前大家4月给我的反馈为零，看来我们做不到。等以后有机会再说。

7月份开始学习数学分析与线性代数两门课程。而在这儿之前，我想知道每个人想学点什么,将来几年的学习计划是怎样。就像我在2月初跟大家提到的，我只能帮助具有高中数学基础的朋友打好undergraduate的数学基础，而正式的是从7月份开始，其他方面的学习计划就不用跟我说了。

具体一点儿的，数学分析将会使用北京大学张筑生所著，三卷本“数学分析新讲”。线性代数使用丘维声所著：“高等代数”两册。这两门课，都是非常基本的，是现代数学的语言。

Elias Stein and Rami Shakarchi所著的四卷的普林斯顿分析教材“傅立叶分析”，“复分析”，“实分析”，以及“泛函分析”将会成为后续的分析课程的主要教材，我个人当然希望有同学可以两三年内把这些书都读完。这样在大学期间的所有与“分析”有关系的基础就很不错了。（事实上，我本人还没有见到第四本。）如果可能，第一年我将尽可能把第一本，“傅立叶分析”，的部分内容加入到我们我们数学分析的扩充内容中来。

三卷的数学分析新讲，我们要用一年时间搞定，并不是一个很简单的任务。如果到时候我们的进度仍旧如过去两个月一样，那么可以肯定的说，我们是学不下来的。我等到7月份开始，会删掉教材中的其中一部分内容，绝不是因为不重要，而是因为像微分方程的部分，微分几何的部分，今后我们可以安排某个学期专门学习，在这里为了掌握数学分析的基本理论，就先略过去了。

学习的形式，我会写邮件安排每周的阅读内容，每两周我会留一次作业，作业我会读，如果有能力使用latex把作业打出来发给我最好（最好早一点学会使用latex，我不接受word的文档）。或者，请写好在纸上，用相机拍摄给我发过来。这次会比较严格，否则两三个月的时间跟不上就会被甩开，便不可能跟得上了。

到第二年，哪怕只有一个学生能够坚持把两门课学下来，我就认为是很大的成功。到时候看每个人的喜好，我们可以展开的内容就丰富多了。基础抽象代数学，基础拓扑学，或者基础的微分流形，微分方程，概率论，以及上面提到的分析学的后续课程都是非常好的题材。到这个阶段，我将会更多的使用英文教材，而且尽量读流传广泛且深远的名著。

于此同时，我们可以在任何时候学习组合数学，而且，如果我觉得训练差不太多了，会给大家一些文献进行阅读（一般，只需要两三个月的认真学习就可以阅读一些简单文献了）。

但是现在我打算暂停三个月（4月，5月和6月），一同为7月份做好准备。

去年听到中南大学的刘路解决了“Seetapun”猜想，居然还是从我母亲那里知道的，她在网上看到铺天盖地的新闻，便来信问我，这是个什么情况。于是我的第一反应，便是去找找这篇原始论文，可是并不容易找，一直到现在我也没有见到。而在2012年的三月初，刘路居然被破格评为研究员。要知道媒体与一些机构把一个人碰到捧到一定程度的时候，往往他们都是为了自己的目的。

在网上被各种惊呼所淹没的言论中，我只看到香港浸会大学的汤涛教授的提醒，说大家不要捧杀了他，“领导、院士、舆论还是不要掺和得太多。顺其自然，给点鼓励和物质奖励就可以了。”可是这个客观的评论早已被淹没，很可能发生的情况是，媒体继续热闹一段日子，大家饭后谈资可以开心的对中国又出了一个“天才”而感到骄傲，几年以后，这事儿就像没发生过一样了。

之前刘路被接收硕博连读，是很合适而且也是应该的，应该说他独立的研究能力已经得到了初步展现，比某些大学的博士毕业生甚至更具水准。但是即便如此，他也有很大差距，要想在数学这条道路上真正走下去，他必须认真的走每一个严肃的数学工作者都要走的必经之路，要踏踏实实的接受研究生水平的数学训练。当然，他如果足够聪明，这个过程所需要的时间可以大大缩短。但是从我目前所掌握的信息来看，他还完全没有开始走向这条正确的路上来。而中南大学居然做出这样的决定，它们的的研究生教育水准实在让人疑惑。

有消息称，他已被伯克利录取。我建议他接受这个录取，真正开始在数学这条道路上走下去，这要比接受研究员的称号有意义的多。

这门课的基础，除了多维微积分以外，还需要对基本的微分流形有所了解,可能还需要一点微分方程。微分几何的基础我很喜欢William Munger Boothby的书，“An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”。而复习大学水平的微分几何，我适时会使用Wolfgang Kuhnel的书“Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds”.

一个朋友和我争论，他说几何多多少少依靠直觉，是他不喜欢的科目，他说这“简直像神学了”。我感觉像我们这样的初学者，见到的太少，还没有能力做这样的判断，虽然，即使仅仅懂了一点点，也足以感受到几何这个学科与集合论或者代数中更加具有“布尔巴基”味道的数学真的是风格迥异。总之，多了解不同风格的数学，总能让自己视野更开阔。期待有一天可以感受到Atiyah–Singer指标定理到底是怎样的波澜壮阔，我真的是垂涎已久了。

更新：（4月）youtube上已经在上传本课程的视频。

如今在一个比较偶然的因素刺激下，我又展开了这个项目。我对这次能够坚持下去有比较高的信心。

从2月初我提倡给一些想提前学习高等数学的中学生提供一个机会，到现在已经过去了一个月。有兴趣参与进来的人数大大的超过了我的预想。我很高兴，我们一起开了一个好头儿。但是我仍然相信，这些人里应该有一部分只是来“看一看”的。这是应该的，其实数学真的不适合所有人学的过多。而经过一段时间之后，确实决定下功夫好好学点数学的同学，我非常愿意和你们一起继续走下去。我的计划当中最初其实没有包括那些只想“了解一点儿”当代数学的人。实际情况是，数学常常是你要么懂，要么不懂，很难“懂一半儿”，或者懂它个三分之一。而且数学书一个缓慢积累的学习过程，没有积累，只是类似科普一样得到的一丁点儿了解，往往是非常不准确的。

我打算在7月开始教大家的“数学分析”这门课，很多人，包括一部分大学数学系毕业的人，四年下来终究是没搞懂这门课。可是它是最基本的数学语言，是从初等数学到高等数学的过度。每个打算学好它的同学都要抱有心理准备，一开始可能会有一些不容易。但是一旦你真的走进这个课中，你就不得不被它的魅力所吸引。

有一些同学写信问我到底我这个项目怎样的。我简单说一下。

首先，但是这个项目的执行，只能是以我给大家群发邮件的方式。我的作用就是给大家定下阶段性的目标，让大家更容易坚持。我不大可能像真的学校老师一样讲课和批改作业，但是我会尽量的写一些简单的讲义，比如下面我就把头一个月四次写过的关于组合数学的讲义贴在这里。

长期的目标是打算使用大约3，4年的时间，帮助一些人从高中数学开始，比较全面的掌握大学水平的数学基础，我能做的就是给真正愿意学数学的学生提供一个方向，给他们当几年的“图书馆”，直到他们可以到达好的学习环境，或者有了足够的自学能力。从今年的7月开始，每一个学期（半年），我会开展两到三门的大学数学课程的学习。几年内，我希望从分析，代数，拓扑，几何，以及概率论和组合数学，通通都能接触。涉及的深度因人而异，但是，数学分析这门课是必须首先拿下来的。到七月看看如果可以的话，也会考虑同时开一下线性代数。

P.S.在itunes的免费课堂上，2月刚刚更新了哈佛大学的“概率论”课程。我虽然还没来得及看，但是这个应该是不错的自学“概率论”的好机会。一般大学数学系都在第2年或者第三年开这门课。这门课的基础，是数学分析和一点点线性代数。如果有人已经掌握了这两门课程，并打算这学期把“概率论”这门课学下来，我乐意帮助其制定学习计划。