Not "Not Even Wrong"

Welington de melo的微分拓扑课程己经进行了一半。2月份的课程内容在这里新开一个帖子。

第五周：测地线；Exponential maps;同伦；管状邻域；拓扑度；拓扑度的同伦的不变性；如果值域是维球面上述命题可逆；代数基本定理;index of singularity of a vector field;index of a hyperbolic singularity;欧拉特征；Hairy ball theorem；相交数；

讲义13；讲义14；讲义15。

第六周：Morse Theory;The Morse Lemma;gradient field;Quadratic forms,Chain complex;Singular complex;Singular homology;Relative homology;exact sequence;snake lemma;diagram chasing;prism operator,barycentric subdivision,Meyer-Vietoris sequence,five lemma,excision theorem,Morse inequalities;CW-complex;Cellular homology

讲义16；讲义17；讲义18.

第七周：differential forms;exterior derivative;the stokes theorem;the de Rham cohomology;poincaré lemma;The cohomology group of ;Poincaré duality,The de Rham theorem,

讲义19；讲义20；讲义21

期末考试

整个课程的讲义我合在一起放在这里，一共97页。

本学期我参加Welington De Melo所教授的微分拓扑课程。我打算将他本课程的讲义用英文写出来贴在博客上。在整理讲义过程中，我在自己花费时间比较多的地方写的会更详细一些，其中恐怕会犯不少错误。这些错误都是我的问题，欢迎批评指正。感谢好友Adriana做的笔记，给我提供了大量的帮助。本帖子将陆续更新。

第一周课程的主要内容有：实可微与复可微映射；反函数定理与隐函数定理；submersion，embedding 与immersions的定义；Sard定理及其证明；拓扑流形以及微分流形的主要概念；流形间的可微映射；切空间与切丛；子流形的概念；Lie群的概念；纤维丛的基本概念；介绍了Hopf fibration；以及代数簇的基本定义；例子主要包括，实射影空间；复射影空间；四元数群空间；Grassmann流形；orthogonal群；lorentz群.

讲稿1,讲稿2,讲稿3

第二周的主要内容有：单位分解定理；向量场；积分曲线；Tubular flow theorem；黎曼度量；Whitney拓扑；函数的稠密性；Brouwer不动点定理；带边流形；Liouville定理的一个推广；领口邻域定理；手术。

其中，讲稿5中Tubular Flow Theorem的证明我很难看懂lecture中所给出的证明，我事实上怀疑其中有些错误，这里的证明几乎是我自己写的，希望没有严重错误。

讲稿4，讲稿5，讲稿6

第三周的主要内容有：纤维丛的性质；带结构群的纤维丛；转移函数；cocycles；section；主丛；纤维丛的拉回；Universal Bundle;张量场；k-形式；张量场的拉回；流形上的张量场；k-jets；jet bundles；Whitney topology

讲稿7，讲稿8，讲稿9

第四周的主要内容有：函数空间在Whitney拓扑下baire space；proper map；Whitney 拓扑的邻域基；全体immersions在whitney拓扑中是开集；convolution；全体embeddings在whitney拓扑中是开集；所有函数的稠密性；向量场在向量场中稠密；Transversality及其性质；Thom transversality theorem.

讲稿10，讲稿11，讲稿12

期中考试

下个月的内容准备另开一个帖子。