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双曲动力系统（期中考试）

2012年5月4日 发表评论 阅读评论

刚刚参加Marcelo Viana教授的Hyperbolic Dynamics的博士课程的期中考试，一共四道题目。

题目一:设f:M\to \Bbb R为一个C^r的实值函数，期中r\geq 2.令F=grad (f).证明如果p\in M是向量场F的奇点，则DF(p)的特征值都是实数。证明如果p是一个双曲形的奇点当且仅当双线性形式D^2f(p)是非退化的。更进一步的，证明F不包含周期轨道。

证明提纲：在欧式空间中，梯度场由于是由函数的的各方向导数所得来的，我们发现它的导数在局部坐标下看是一个对称阵，于是我们得出相应的特征值都应当是实数。而将坐标拉回也不影响这个结果。而沿着梯度场，函数f的值是严格递增的，不可能出现周期点。(反证法)

题目二：令f:M\to M为一个微分同胚，令\Lambda为f的双曲不变集合(Hyperbolic set).设p,q\in \Lambda为两个周期点并定义

p\prec q \Longleftrightarrow W^u(p) 在某点横截的与W^s(q)相交

再定义p \approx q \Longleftrightarrow p\prec q \text{ and } q\prec p.

证明上面定义的\approx是一个等价关系.更进一步的，证明对任意的开集U和V与同一个等价类相交非空，则存在n\geq 1，使得f^n(U)\cap V\neq \emptyset.

证明提纲：验证等价类的定义，关键在于验证传递性。而这里我们需要证明的关键是，对于三个点p,q,x，满足p的不稳定流形和q的稳定流形横截相交；q的不稳定流形和x的稳定流形横截相交，可以推出p的不稳定流形与x的稳定流形也是横截相交的。而这个证明需要\lambda引理。

对于第二个问，对于这两个任意给定的开集合U和V,我们在其中寻找到等价类的点，比如说p,q，则我们可以分别作出p的不稳定流形和q的稳定流形.注意，他们是横截相交的。设交点为x，则我们可以利用稳定流形和不稳定流形的性质，得出存在f^n(U)\cap V\neq \emptyset.

题目三：令\lambda\in (0,1).证明如果f:\Bbb R\to \Bbb R是一个C^1微分同胚，并满足f与L(x)=\lambda x可交换(就是说，f\circ L(x)=L\circ f(x)),则f是线性的。而另一方面，存在R^2上的C^\infty的微分同胚，与T(x,y)=(\lambda x,\lambda^2 y)可交换，却不是线性的变换。

证明提纲：由题目条件，我们得出f(\lambda x)=\lambda f(x).于是，首先，我们可以得到f(\lambda^n)=\lambda^nf(1).于是，由于f\in C^1,而\lambda^n\to 0,我们有,f(1)=\frac{f(\lambda^n)}{\lambda^n}\to f'(1).现在任取x\in \Bbb R^1,我们有\frac{f(x)}{x}=\frac{f(\lambda^nx)}{\lambda^n}\to f'(0)=f(1).于是f(x)=f(1)x对所有x成立。

第二个问，我们构造函数h定义如下，h(x,y)=(x,x^2+y).这是一个非线性的函数，满足与T可交换。

题目四：令f:M\to M为一个C^1类的微分同胚，其中M是一个compact的流形。证明如果f是结构稳定的，则f的所有不动点都是双曲不动点。我们能对周期k\geq 1的周期点有同样的断言吗？

证明提纲：f是结构稳定的，首要的事情就是它的不动点都是simple的。再加上流形是紧致的，于是我们可以证明不动点一定是有限个。假设我们有一个不动点p，f在该点不是双曲的。这样，只需在局部分析这个不动点。把它先push到坐标上去，再将函数在那里通过一个bump函数微微调整，最后在pull back这个函数，我们最终可以得到两个不同的函数，f',f'''他们在p点都是双曲的，但是他们稳定流形和不稳定流形的维数不同。这样他们是不可能共轭的。（P.S.本题具体写起来最麻烦。）

为了给出一个反例，我构造了圆周上的微分同胚，满足每个点都是周期为2的周期点。同时这个微分同胚共轭于圆周的旋转，从而是结构稳定的。但是我构造出来的例子中，该圆周有非双曲的周期点，即，导数正好为1.

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  1. alreadydone
    2012年5月4日21:55 | #1
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    第三题定义的h(x,y)不对，第一个坐标决定了第二个坐标，这样定义的映射怎么会是同胚？何况在x,y之一为零时不可微。一个可行的h由h(x,y)=(x,x^2+y)给出。

    • Xiaochuan Liu
      2012年5月4日21:57 | #2
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      感谢评论，已改正。

  2. xiaodao
    2012年5月5日02:28 | #3
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    ..公.. 公式全崩了…)

  3. wei yu
    2012年5月11日01:08 | #4
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    怎么我的电脑里显示不出 你编辑的数学符号，只显示一个个的红叉，什么原因啊？

  4. Xiaochuan Liu
    2012年5月11日01:45 | #5
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    换一个浏览器试一试呢？@wei yu

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