Not "Not Even Wrong"

中国学生的数学基础是很一般的，却自己认为自己很好，甚至最好，这是很没有自知之明，很愚蠢的观念。我们的年轻人真正开始学高等数学的时间太晚了，几乎都要等到上大学以后。甚至到了大学也只有不太多的大学的数学系才能提供比较扎实的基础数学的教育。

我倡议广大的中学生尽早的学习高等数学。并打算作为实验，从今年（2012年）7月份左右开始，帮助一些中学生开始这个任务。在7月份之前，我也会和大家一道做好各方面的准备。有兴趣的同学或者家长可以与我进行邮件联系。另外，如果有任何好的建议，关于如何利用互联网进行学习，关于时间安排，或者关于任何相关的方方面面的建议，都希望能写信给我。我在这里先表示感谢。

我常常看到或者听说一些美国优秀高中生的事迹，他们有的刚刚17，8岁的年纪，就把大学水平的数学基本完全学完，一上大学直接听研究生水平的课程。一个跟我有过通信联系的，如今是哈佛大学2年级学生的小伙子(Akhil Mathew)，更是在高二就和两个教授共同署名，发表了一本大学“复变函数论”的教材。美国一直都有相应的机构和合理的方法来帮助这样的学生，可以说，只要是对数学这门学科的兴趣更浓厚的中学生，在美国很容易去学习一些高等数学，有的中学是直接开设大学数学课程供学生选修的。

我有这个想法已经很久了。从我大学2，3年级的时候，我便对自己没有更早的接触到高等数学而感到懊悔。但是那时候的视野太窄，根本是井底之蛙。而如今我有可能有机会帮助一些人。这个事业是有意义的，但是我无法知道我可以坚持多久，或者能达到怎样的效果，毕竟我一个人的能力十分有限。对于学生来说，能够参与进来需要的基础是高中数学的大体内容都已经掌握。我初步的目标是，到今年的年底，可以有一些学生完成“数学分析一”这门课的学习，这是一般的数学系大一新生第一学期的主干课程之一。理想中乐意跟我学习的人数希望在五个六个为宜。我目前已经确定有两个人会参与进来了。

与数学分析相辅的，我今年可能还会让大家学一点离散数学，这可能是唯一现代数学中不大需要数学分析做基础的课程。对于聪明的孩子，我甚至相信，经过一两年的合理的训练，他们便可以尝试进行严肃的数学研究，这对刺激他们进一步学习数学的兴趣会有极大的帮助。但是有可能做到这一点的恐怕也只有离散数学。

（刘小川，IMPA在读博士研究生，lxc1984@gmail.com）

更新：（2月9日）这个计划已经开始，想了解更具体的进展请到此页面。

（本文是肖愚家庭教育网校专稿）

这个岁末年初，似乎流行把很大的话题当作题目，我既然没有看到有人谈教育，那么不妨自己随口胡说一些。

标题图片是我近期拍的。眼前坐着这位小朋友，正和我们这些年纪通通大他一倍以上的数学硕士，博士们在一起听今年暑期的博士生课程“泛函分析”。他是巴西国家数学研究所（简称IMPA）的一位12岁的在读硕士研究生。

我周围的朋友们已经对这位有一点特殊的同学失去了一开始的猎奇心理，大家都已经见怪不怪了。这孩子显然是个天才，英文说是Child Prodigy，但是即便如此，他也得跟任何人一样，一步一步的去学该学的东西，他也得面对每一个人都要面对的复杂的生活，不可能活在真空之中，他得一边在数学上继续进步，一边还得快一点变的成熟，因为他缺少同龄人的很舒适自在的相处的时光，他周围的人都比他大太多，除了数学，其他的话题基本上都不可能插上话。由此可见，这样的孩子想最终取得成功，一点都不会比常人更容易，甚至会多很多误区和陷阱，这实在是需要很多人的帮助，包括他的父母亲戚以及各种朋友。 阅读全文…

本学期我参加Welington De Melo所教授的微分拓扑课程。我打算将他本课程的讲义用英文写出来贴在博客上。在整理讲义过程中，我在自己花费时间比较多的地方写的会更详细一些，其中恐怕会犯不少错误。这些错误都是我的问题，欢迎批评指正。感谢好友Adriana做的笔记，给我提供了大量的帮助。本帖子将陆续更新。

第一周课程的主要内容有：实可微与复可微映射；反函数定理与隐函数定理；submersion，embedding 与immersions的定义；Sard定理及其证明；拓扑流形以及微分流形的主要概念；流形间的可微映射；切空间与切丛；子流形的概念；Lie群的概念；纤维丛的基本概念；介绍了Hopf fibration；以及代数簇的基本定义；例子主要包括，实射影空间；复射影空间；四元数群空间；Grassmann流形；orthogonal群；lorentz群.

讲稿1,讲稿2,讲稿3

第二周的主要内容有：单位分解定理；向量场；积分曲线；Tubular flow theorem；黎曼度量；Whitney拓扑；函数的稠密性；Brouwer不动点定理；带边流形；Liouville定理的一个推广；领口邻域定理；手术。

其中，讲稿5中Tubular Flow Theorem的证明我很难看懂lecture中所给出的证明，我事实上怀疑其中有些错误，这里的证明几乎是我自己写的，希望没有严重错误。

讲稿4，讲稿5，讲稿6

第三周的主要内容有：纤维丛的性质；带结构群的纤维丛；转移函数；cocycles；section；主丛；纤维丛的拉回；Universal Bundle;张量场；k-形式；张量场的拉回；流形上的张量场；k-jets；jet bundles；Whitney topology

讲稿7，讲稿8，讲稿9

第四周的主要内容有：函数空间在Whitney拓扑下baire space；proper map；Whitney 拓扑的邻域基；全体immersions在whitney拓扑中是开集；convolution；全体embeddings在whitney拓扑中是开集；所有函数的稠密性；向量场在向量场中稠密；Transversality及其性质；Thom transversality theorem.

讲稿10，讲稿11，讲稿12

期中考试

下个月的内容准备另开一个帖子。