2013年的一些遗憾和短期内的工作状况

2014年2月24日 没有评论

第1部分 2013年的一些遗憾

遗憾之一,我在动力系统中所选择的第一个问题,相当于半途而废了。事实上,我在2011年底开始翻译一本研究生教材,从葡萄牙语翻译成英语,当时正好我刚到巴西,仍然要适应葡萄牙语教学。在我翻译到该书的最后一章的时候,这本书的作者之一,Krerley Oliveira教授,给我描述了一个他自己正在进行的相关研究的问题。这个一个关于计算Hausorff维数的问题。2013年,这位教授要请我到巴西另一个城市马塞约合作几个月。考虑了诸多因素,经过犹豫之后,我没有接受他的邀请。

遗憾之二,2012年,我曾经花了很多的时间在几何基础上。以黎曼几何为根基,我接触到了极小曲面这一相当优美的研究领域。IMPA有好几位世界级的几何工作者也在这个领域。我当时正是选择几何作为自己的第二方向,并了解了一点儿极小曲面。可是,2013年全年我发现自己很难真的在这方面开展工作,除非我彻底转做几何,放下动力系统。于是,我选择暂时放手。我不知道什么时候才再有机会回过头走进这些深刻而优美的几何领域中来。

遗憾之三,从2012年的7月份,我开始教一些中学生学习高等数学。一开始有大约50多人参与,我也很高兴能为他们做点儿事情。我预先也有计划带领他们做一点儿本科水平的数学研究,比如组合数学里边的一些话题,整数的分拆,计数组合中找一找Bijection这类事情。但是后来没有实现。主要原因是学生们坚持不下来。客观上,中国的学生无法全力学习自己喜欢的东西,不得不进行应试准备。这个事情,我做到2013年的5,6月份左右,宣告结束(坚持了一年)。让我感到高兴的是,我的学生中有一对儿双胞胎,现在年仅12岁,却已经在这一年当中对基本的微积分和线性代数有了观念。他们在准备参加2014年的高考,也因此不得不停止学习一段时间。他们打算报考中国科技大学。如果他们顺利到中科大数学系就读,将来我会对他们继续有所安排,选择到IMPA交流学习也未尝不是一件好事儿。

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IMPA简介

2013年11月19日 2 条评论

我时常收到信件,询问我在IMPA读数学研究生的情况。我在这里写一篇帖子,专门提供一些基本信息,尽管这些信息都是可以在IMPA官网找到的。

IMPA,即巴西国家数学与应用数学研究所,成立于1952年。被认为是整个巴西在数学方面最前沿的科研教育机构。它座落于里约热内卢,处于森林之中,环境优雅。

IMPA的授课百分之九十是使用葡语,偶尔会有教授决定使用英文授课,但是这种情况很少,而且往往不是常规课程。这样的原因是,这里的学生来源主要是以葡萄牙语和西班牙语为母语的国家。但是参加考试可以使用英语作答。过去的三五年期间,IMPA每个学期都会挑选3,5门课程录影,提供免费下载。这些录影多数也有被上传到Youtube上。

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Kolmogorov-Sinai熵简介

2013年11月8日 没有评论

本周Marcelo Viana教授不在IMPA。他要求我替他的微分遍历论博士课程代三次课。根据本课程到目前的进度,我正好利用这三次课讲了Entropy这一章。该课程是常规的博士课程,教材为Krerley Oliveira和Marcelo Viana的新书:“Fundamentals of Ergodic Theory” ,链接是本书的葡语版本。我本人在进行本书的英文翻译。

而为了更好的准备这三次演讲,我写了三次课的讲义。讲义与教材的区别在下面几个方面。教材中为了降低读者的阅读门槛,没有使用过多的概率论,甚至连比较初等的条件概率以及条件期望的定义也是仅仅讨论了针对有限或者可数partition的特殊情况。而我写的讲义,使用了相关的概率论的语言,在这一点上,我也参考了William Parry的书:Topics in Ergodic Theory. 比起前面的教材,还有一个明显的不同是,我引入了信息函数(information function),并将熵定义为信息函数的积分。

三次讲义在这里,一共12页。

 

 

本学期安排

2013年9月9日 1 条评论

由于一些家庭私事,这段时间没有更新博客。这个学期已经开学,我在跟随Carlos Moreira(Gugu)教授学习一些有关动力系统中Hausdorff维数的话题,使用Jacob Palis和Floris Takens的经典的书:Hyperbolicity and Sensitive Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations.课程的安排比较灵活,可能不会按部就班的从头到尾的念这本书。我在参加由Artur Avila 和Jairo Bochi (Puc_Rio)在IMPA组织的讨论班,内容围绕C^1 Conservative Dynamics话题。同时,我还在旁听Mikhail Belolipetsky教授的几何群论课程。这之外,我在做博士课程:微分遍历论的助教,主讲教授为Marcelo Viana和Krerley Oliveira (UFAL)。该课程使用这两位教授的新书,可以在这里找到。我会将每次自己讲的东西写下来,最后会在这里分享。

notes 1

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博士资格考试

2013年4月25日 1 条评论

IMPA的博士资格考试,要求每个学生选两个专业方向。第一个方向要求选择三门课,或者,两门课与extra topic,后者可以包括一些论文,范围比较灵活,内容则需要跟导师商量。我个人选的方向为1,动力系统;2,微分几何。我的资格考试的范围见链接:qualifying。IMPA的相关网页见这里.

我的第一门考试是于3月20日进行的。三位考试的教授为:Carlos Gustavo Moreira教授,Enrique Pujals教授和Marcelo Viana教授。当天下午从3点20多开始到4点十分结束,总过花费不到一个小时,他们让我出了教室,他们留在里面讨论了一会儿。然后Marcelo出来告诉我,虽然不能官方告诉我结果,但是我应该去准备几何考试了。(IMPA官方将会两个考试一起出结果)

第二门考试于4月24日进行。三位考试的教授为:Jose Espinar教授,Fernando Coda Marques教授,以及Harold Rosenberg教授.考试从下午1点半到2点半结束,一个小时时间.最后,Coda出来告诉我我通过了考试。

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博士课程:组合2

2013年3月22日 没有评论

本学期我跟随Robert Morris教授学习“组合2”课程。课程的基础为极值和概率组合的最基本的观念和入门的例子有所了解。比如Morris教授在IMPA的于2011年Summer的课程,正好为此做好基础,见链接。这方面标准的教材是Noga AlonJoel Spencer的书:The Probabilistic Method,在Robert的网页上,读者还可以找到他本人与impa另一位教授合写的一本比较简略的小书,Extremal and probabilistic combinatorics可读性很强,供读者免费下载。

这门课的目标之一,至少在头两个月时间内,是读懂预印本:”The critical window for the classical Ramsey-Turán problem” 作者是Jacob Fox, Po-Shen LohYufei Zhao.

我个人也很希望利用这门课程的机会了解一下Szemerédi’s theorem的几种证明,尤其是Hillel Furstenberg的遍历论证明以及Timothy Gowers的组合和分析的证明,但是课程的规划还比较灵活,目前我们还没有完全确定整个内容。

双向具周期的极小曲面的整体理论

2012年11月20日 3 条评论

本学期我在跟随Harold Rosenberg学习极小曲面的理论。IMPA在2011年3月期间,将Harold Rosenberg教授的极小曲面课程录了下来,具体见此

我个人使用的教材,主要包括下面三种:

1.A course in minimal surfaces,作者是Tobias H. Colding 以及William P. Minicozzi II.

本书写的很紧凑,包含的内容很广泛,而且,用Harold本人的话讲,本书可以说是”excellent”.读完第一章便可以对整个理论有一个迅速但粗浅的了解。

2.三卷本的“Minimal Surfaces“, “Regularity of Minimal Surfaces“,和”Global Analysis of Minimal Surfaces“.作者分别是Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Anthony J. Tromba.

这套书个人感觉相对容易入手,而内容更是非常广泛,更加在第一卷的第一部分补充了微分几何的基本理论简介。三卷书有差不多2000页的内容,无法短时间读完。

3.A Survey of Minimal Surfaces. 作者是 R. Osserman.

这是一本经典的书,也不难读,在本领域的论文中我发现一些经典的argument都溯源于此书。

4.The Global Theory of Minimal Surfaces in Flat Spaces,实际上分为三个部分,作者分别是William H. Meeks, Joaquín Pérez, Antonio Ros和Harold Rosenberg.

这本书更加接近科研前沿,对初学者仅供参考。

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关于中点凸函数和连续函数的关系

2012年9月25日 2 条评论

数学分析的学习中,韩吴同学注意到这样一个问题:

能否构造一个开区间(0,1)上的不连续的函数f(x),使得满足f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}

由于定义于某个开区间比如(0,1)上的凸函数一定是连续函数,而将凸函数的性质弱化一点就变成了上述的这个所谓的“中点凸”性质。要看出这个性质确实是比凸函数更弱的性质,是需要构造反例来证明的。

但是,居然有下面这个有趣的定理,属于Sierpinski

定理:如果一个开区间(0,1)上定义的函数满足“中点凸”性质,并且该函数还是Lebesgue可测的,那么这个函数就是凸函数,也因此是连续函数。

事实上,我们甚至还有更强大的定理:

定理(Ostrowski):如果一个“中点凸”函数在某个正测度的Lebesgue可测集合上是有界的,那么这个函数就是凸函数。

因此,为了构造反例,我们要从经典的Vitali不可测集合出发,逐步构造出一个不可测函数,满足题目要求的性质,这里的知识需要了解“实变函数”课程,具体的,是Lebesgue积分和测度理论。为此,首先考察所有(0,1)区间的有理数,并把它们写成既约的分数形式,然后在这些有理数上定义函数f(\frac{q}{p})=-p.这是我们最终要定义函数的出发点。 阅读全文…