Not "Not Even Wrong"

博士资格考试

2013年4月25日 Xiaochuan Liu 1 条评论

IMPA的博士资格考试，要求每个学生选两个专业方向。第一个方向要求选择三门课，或者，两门课与extra topic，后者可以包括一些论文，范围比较灵活，内容则需要跟导师商量。我个人选的方向为1，动力系统；2，微分几何。我的资格考试的范围见链接：qualifying。IMPA的相关网页见这里.

我的第一门考试是于3月20日进行的。三位考试的教授为：Carlos Gustavo Moreira教授，Enrique Pujals教授和Marcelo Viana教授。当天下午从3点20多开始到4点十分结束，总过花费不到一个小时，他们让我出了教室，他们留在里面讨论了一会儿。然后Marcelo出来告诉我，虽然不能官方告诉我结果，但是我应该去准备几何考试了。（IMPA官方将会两个考试一起出结果）

第二门考试于4月24日进行。三位考试的教授为:Jose Espinar教授,Fernando Coda Marques教授,以及Harold Rosenberg教授.考试从下午1点半到2点半结束,一个小时时间.最后，Coda出来告诉我我通过了考试。

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本学期我跟随Robert Morris教授学习“组合2”课程。课程的基础为极值和概率组合的最基本的观念和入门的例子有所了解。比如Morris教授在IMPA的于2011年Summer的课程，正好为此做好基础，见链接。这方面标准的教材是Noga Alon与Joel Spencer的书：The Probabilistic Method,在Robert的网页上，读者还可以找到他本人与impa另一位教授合写的一本比较简略的小书，Extremal and probabilistic combinatorics，可读性很强，供读者免费下载。

这门课的目标之一，至少在头两个月时间内，是读懂预印本：”The critical window for the classical Ramsey-Turán problem” 作者是Jacob Fox, Po-Shen Loh和Yufei Zhao.

我个人也很希望利用这门课程的机会了解一下Szemerédi’s theorem的几种证明，尤其是Hillel Furstenberg的遍历论证明以及Timothy Gowers的组合和分析的证明，但是课程的规划还比较灵活，目前我们还没有完全确定整个内容。

分类: Math.CO, Maths 标签: Hillel Furstenberg, Robert Morris, Szemerédi's theorem, The Probability Method, Timothy Gowers

双向具周期的极小曲面的整体理论

2012年11月20日 Xiaochuan Liu 3 条评论

本学期我在跟随Harold Rosenberg学习极小曲面的理论。IMPA在2011年3月期间，将Harold Rosenberg教授的极小曲面课程录了下来，具体见此。

我个人使用的教材，主要包括下面三种：

1.A course in minimal surfaces，作者是Tobias H. Colding 以及William P. Minicozzi II.

本书写的很紧凑，包含的内容很广泛，而且，用Harold本人的话讲，本书可以说是”excellent”.读完第一章便可以对整个理论有一个迅速但粗浅的了解。

2.三卷本的“Minimal Surfaces“, “Regularity of Minimal Surfaces“，和”Global Analysis of Minimal Surfaces“.作者分别是Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny, Anthony J. Tromba.

这套书个人感觉相对容易入手，而内容更是非常广泛，更加在第一卷的第一部分补充了微分几何的基本理论简介。三卷书有差不多2000页的内容，无法短时间读完。

3.A Survey of Minimal Surfaces. 作者是 R. Osserman.

这是一本经典的书，也不难读，在本领域的论文中我发现一些经典的argument都溯源于此书。

4.The Global Theory of Minimal Surfaces in Flat Spaces,实际上分为三个部分，作者分别是William H. Meeks, Joaquín Pérez, Antonio Ros和Harold Rosenberg.

这本书更加接近科研前沿，对初学者仅供参考。

阅读全文…

分类: Maths, Minimal Surfaces, Riemannian Geometry 标签: Bôcher's theorem, Books, Course, Gauss Bonnet Theorem, Harold Rosenberg, Minimal Surfaces, Theorema Egregium, Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II

关于中点凸函数和连续函数的关系

2012年9月25日 Xiaochuan Liu 没有评论

在数学分析的学习中，韩吴同学注意到这样一个问题：

能否构造一个开区间 $(0,1)$ 上的不连续的函数 $f(x)$ ,使得满足 $f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)}{2}+\frac{f(y)}{2}$ ？

由于定义于某个开区间比如 $(0,1)$ 上的凸函数一定是连续函数，而将凸函数的性质弱化一点就变成了上述的这个所谓的“中点凸”性质。要看出这个性质确实是比凸函数更弱的性质，是需要构造反例来证明的。

但是，居然有下面这个有趣的定理，属于Sierpinski：

定理：如果一个开区间(0,1)上定义的函数满足“中点凸”性质，并且该函数还是Lebesgue可测的，那么这个函数就是凸函数，也因此是连续函数。

事实上，我们甚至还有更强大的定理：

定理（Ostrowski）：如果一个“中点凸”函数在某个正测度的Lebesgue可测集合上是有界的，那么这个函数就是凸函数。

因此，为了构造反例，我们要从经典的Vitali不可测集合出发，逐步构造出一个不可测函数，满足题目要求的性质,这里的知识需要了解“实变函数”课程，具体的，是Lebesgue积分和测度理论。为此，首先考察所有 $(0,1)$ 区间的有理数，并把它们写成既约的分数形式，然后在这些有理数上定义函数 $f(\frac{q}{p})=-p$ .这是我们最终要定义函数的出发点。阅读全文…

分类: Maths, Real Analysis 标签: Advanced Mathematics, Convex Function, High School Students, Transfinite Induction, Vitaly Non Measurable Set, Wu Han, Zorn's Lemma

二维流形上的Nonwandering的双曲集合

2012年9月17日 Xiaochuan Liu 4 条评论

本帖子是我在一次讨论班上的稿子，讲的是S.Newhouse与J.Palis的一篇论文，内容是关于二维的流形上Nonwandering双曲集合的性质，详见文献[1].基本概念和习惯用语参考[4]，第18章。

第一部分.极限集的谱分解

我们说一个局部极大的双曲集合，指的是双曲集合 $\Lambda$ ，满足 $\Lambda=\bigcap_{n\in \Bbb Z}f^n( V)$ 对某个 $\Lambda$ 的邻域 $V$ 成立。

回忆Smale的谱分解定理如下:

一个黎曼流形 $M$ ,以及一个开集 $U\subset M$ ，映射 $f:U\to M$ 是一个微分同胚，集合 $\Lambda$ 是一个 $f$ 的紧致的局部极大的双曲集合。则，存在不交的闭集 $\Lambda_1,\cdots,\Lambda_n$ ，和一个集合 $\{1,\cdots,m\}$ 的置换 $\sigma$ ，使得 $NW(f|_\Lambda)=\bigcup_{i=1}^m\Lambda$ ,并且 $f(\Lambda_i)=\Lambda_{\sigma(i)}$ ；当 $\sigma^k(i)=i$ 时， $f^k_{\Lambda_i}$ 是topologically mixing的。

评注：一个性质说，紧致的集合 $\Lambda$ 是一个 $f$ 的紧致的局部极大的双曲集合，当且仅当它具有局部乘积结构。局部乘积结构是指，对于足够小的正数 $\varepsilon$ ，和 $x,y\in \Lambda$ ,局部的稳定流形 $W_\varepsilon^u(x)$ 和不稳定流形 $W_\varepsilon^s(y)$ 的交点 $p$ 总是属于 $\Lambda$ .这个等价性质的一个方向比较容易证明，而另一个方向的证明需要使用Anosov的Specification定理，详见Katok和Hasselblatt的书。阅读全文…

极小曲面课程

2012年8月3日 Xiaochuan Liu 2 条评论

本学期我参加Harold Rosenberg教授的博士课程：极小曲面.所使用教材是由Tobias Holck Colding和William P. Minicozzi II所著的书：“A Course in Minimal Surfaces”。课程的基础，是对黎曼几何的基本课程的熟悉，以及要有一些PDE的基础，尤其是要对所谓的Maximum Principle有一定熟悉。